平拋４５度才能抛最遠距離嗎？

在運動會上，拋鉛球是必有的項目。假設你要拋一個鉛球出去，在教科書上，一般會說４５度才能拋到最遠距離，就算教科書沒有說，隨意找一個來問，他不需要計算，也知道４５度有最遠的距離。當然，這裡不計空氣阻力，儘管不計阻力，４５度真的會最遠距離嗎？

（以下有些少數學，不喜歡的人可以直接看結論^^)

如果我們把這個化為二維空間去考慮，而把人的頭部設為Y軸的0點。那麼這個物理模型可以化為以下：

Y軸經歷的時間等於X軸經歷的時間，那麼把他們合併，得出Ｘ等於一條長長的方程。之後來到最重要一步，就是把方程進行微分。因為微分的變數和角度THETA有關，而這樣便要利用到Chain Rule等等把方程展開，獲得更複雜的方程。本人因數學能力有限，特意請了數學系的同學幫幫手。於是得到以下：

中間還有很多要計算，還夾雜著些少數學技巧，只是這位朋友簡化了。最後得出答案。而我把答案再簡化成比較易觀察的答案：

h指的是人的高度，若果假設沒有高度，h=0  那就等於２的根號２，即45度。所以若果有一定的高度sin的值一定會少了，因為sin在90度之前都是增函數，所以角度會隨著sin的值變少而變少。，

結論：所以高度會影響到拋出的最遠距離，正因為我們一定有高度，於是知道了由45度抛出不能獲最遠距離（當然沒有考慮空氣阻力）而一定小於４５度（可能小於2~3度)。當然，在日常生活中，根本用不上這樣的繁複計算，用感覺抛出去就可以了。但我接觸很多書都沒有明確地把他計算出來，那我就嘗試計一計。不過，還有一部份未計，就是再把方程微分多一次，去証明這是最大值而不是最小值，有好心人幫我嗎？